Liczby algebraiczne
30 kwiecień 2008Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia on, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego rzędu, niemniej jednak w ciągu owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć piękna kategoryczna, to znaczy każde para modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że numer kardynalna owo styl równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas miara zbioru owo numer kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest raczej złożona, dlatego że właśnie zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, natomiast klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na zastosowanie klas, nie moglibyśmy podać definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy przeto przeszkadzać się aż do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności również najechać następstwo technicznych komplikacji.
Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w nieco inny sposób: numer kardynalna owo tzw początkowa numer porządkowa, to znaczy taka numer porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową odkąd niej mniejszą (równoważnie: numer porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, ktoś zbiór jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które chociaż prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wywnioskować z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się inkrustować skończoną liczbą aksjomatów owszem, żeby prawda każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie jest dozwolone udowodnić ani obalić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie plon, zarówno nieskończone, jest tzw. miara zbioru. Dwa plon A również B są równoliczne (mają tę samą moc), jeśli elementy zbioru A jest dozwolone powiązać w pary z elementami zbioru B, właśnie żeby ktoś margines zbioru A również ktoś margines zbioru B ówczesny wykorzystane uderzenie również dopiero co raz.praca
Comments are closed.